Question

如图，在平面直角坐标系中，直线Y=-1/2X+b（b>0)分别交x轴，y轴于A,B两点，点C（4，0），D(8,0),以CD为一

Answer 1

解：（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=
1
2
NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；
②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=
1
2
（2b-4）2=2b2-8b+8，

③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S△PMN-S△ANH=4-2（4-b）2=-2b2+16b-28，

④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；

（3）以OM为直径作圆，当直线y=-
1
2
x+b（b＞0）与圆相切时，b=
√5
+1，如图（五）；
当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4
设Q（x，b-
1
2
x），因为∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ2+QM2=OM2，
即[x2+（b-
1
2
x）2]+[（x-4）2+（b-
1
2
x）2]=42，
整理得
5
2
x2-（2b+8）x+2b2=0，
5
4
x2-（b+4）x+b2=0，
根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）2-5b2≥0，-b2+2b+4≥0，b2-2b-4≤0，可以解得 1-
√5
≤b≤1+
√5
，由于b＞0，所以0＜b≤1+
√5
．

故0＜b≤
√5
+1；

（4）b的值为4，5，8±2
√6
．
∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）
当PC=PD时，b=4；
当PC=CD时，b1=2（P、C、D三点共线，舍去），b2=5；
当PD=CD时，b=8±2
√6
．