设X.Y.Z均为正数，且XY＋YZ＋ZX≡1,求证：X＋Y＋Z》√3
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由于2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz
=(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0
所以x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx
(x+y+z)^2=
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz≥3(xy+yz+zx)
x+y+z≥√3
=(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2≥0
所以x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx
(x+y+z)^2=
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz≥3(xy+yz+zx)
x+y+z≥√3
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(x+y+z)^2=x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
= x^2 + y^2 + z^2 + 2*3 = x^2 + y^2 + z^2 + 6
2*(x^2+y^2+z^2)
= x^2 + y^2 + z^2 + x^2 + y^2 + z^2 >= 2xy + 2xz + 2yz = 2*3 = 6
所以 x + y + z >=√3
= x^2 + y^2 + z^2 + 2*3 = x^2 + y^2 + z^2 + 6
2*(x^2+y^2+z^2)
= x^2 + y^2 + z^2 + x^2 + y^2 + z^2 >= 2xy + 2xz + 2yz = 2*3 = 6
所以 x + y + z >=√3
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