Question

高数～二元极限～

怎么确定一个二元函数的极限存在性？据说是任何方法逼近，只要有一种不行，极限就不存在了。。。那么怎么证明一个极限存在与否啊？？
先谢谢你的回答～
跟着：对于你的第一点，据说能解决任何相关问题～可以举些抽象一点的例子吗？
对于第二点，还有些别的充分条件吗？书上没归纳。。。
对于第三点，我自己想出这样的的一个证明（二元的），不知道行不行得通：
y＝k＊x^n＋b代入原式，只要不存在n，使得f（x，y）的极限与k相关的，则f（x，y）的在那一点的极限存在。。。

Answer 1

是这样子，根据陈文灯的参考书（高数书上忘了有没有）二元函数的存在性质必须满足以下条件，是充要条件：
极限（Δx趋于0 Δy趋于0）（Δz-AΔx-BΔy/p）=0 其中A是z对于x的偏导，B是z对于y的偏导，p（其实是蹂）是根号（Δx^2+Δy^2）
意义来讲，其实就是因为Δz=AΔx-BΔy+α 而这个α是关于Δx和Δy的无穷小量，
等式的意义就是比较α和p的值，当且仅当极限为0时才存在！
任何路径逼近的那个方法只是必要方法，不能用于证明极限存在，这个一定要注意！
可以去翻一下文登的那本书！这个确实是要注意的，好几次考到了！

Answer 2

你说对了，证明不存在很简单，但证明存在则有好几个方法，1）从基本的开始就是ε-N定义，2）然后可以用定理，比如两个偏导数存在而且连续是二元极限存在的充分条件，3）还可以用特殊条件，比如题干有时候会说明二元极限任意方向怎么怎么样，也可以作为推导的基础
1）对于你的第一点，据说能解决任何相关问题～可以举些抽象一点的例子吗？
-〉用定义解决当然能解决所有问题，但往往是不方便的
2）对于第二点，还有些别的充分条件吗？书上没归纳。。。
-〉任何一本高数书都有，是一个定理来的，没别的充分条件了
3）对于第三点，我自己想出这样的的一个证明（二元的），不知道行不行得通：——〉行不通，你选择了y＝k＊x^n＋b，也就相当于选择了一种路径去趋向极限，事实上这样就不对了，要“任意”一种极限趋向才行

Answer 3

令 x = ky^2，得原式 = k / (k^2+1)，
对不同的 k 有不同的极限，因此原极限不存在 。选 C
如果把 y^4 换成 y^2 ，上下除以 y^2 得 x / [(x/y)^2 + 1] ，分子是无穷小，分母不是无穷小，因此极限 = 0 。选 A

Answer 4

是这样子,根据陈文灯的参考书（高数书上忘了有没有）二元函数的存在性质必须满足以下条件,是充要条件：
极限（Δx趋于0 Δy趋于0）（Δz-AΔx-BΔy/p）=0 其中A是z对于x的偏导,B是z对于y的偏导,p（其实是蹂）是根号（Δx^2+Δy^2）
意义来讲,其实就是因为Δz=AΔx-BΔy+α 而这个α是关于Δx和Δy的无穷小量,
等式的意义就是比较α和p的值,当且仅当极限为0时才存在!
任何路径逼近的那个方法只是必要方法,不能用于证明极限存在,这个一定要注意!
可以去翻一下文登的那本书!这个确实是要注意的,好几次考到了!