Question

初二数学证明题，在线等

如图，等边△ABD和等边△CBD的边长均为a，E是AD上异于A、D的任意一点，F是CD上一点，满足AE+CF=a。
（1）当E、F移动时，试判断△BEF的形状。
（2）求△BEF面积的最小值

Answer 1

AE＋CF＝ a
由题得,ABCD是菱形,边长为a
所以AE+DE=a
所以CF=DE
又因为BD=a
三角形ABD为正三角形
所以∠EDB=∠BCE=60°
又因为BD=CB=a
所以△BDE≌△BCF（SAS）

因为△BDE≌△BCF
所以BE=BF
所以△BEF为等腰三角形
又因为△BDE≌△BCF
所以∠EBD=∠FBC,∠FBC+∠DBF=60°
所以∠EBD+∠DBF=60
所以△BEF为正三角形
(2)
三角形BEF的面积=根号3/4*BE^2
所以,当BE最小时,面积最小.
而当BE垂直于AD时,BE最小,勾股定理得BE最小是根号3/2a
所以,BEF的最小面积=根号3/4*3/4a^2=3根号3/16 a^2

注:等边三角形面积=根号3/4*边长的平方.可以通过作高证得.