Question

在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分角CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G

在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分角CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G。证明：1。DF‖BC，2：FG=EF
。

Answer 1

AF为公共边；∠CAF=∠DAF；AC=AD，所以△ADF=△ACF,所以∠ADF=∠ACF
∠ADF=∠ACF；AC=AD；∠A为公共角，所以△ADG=△ACE,所以∠AGD=∠AEC
CE⊥AB于点E，即∠AEC=90°，所以∠AGD=∠AEC=90°
∠ACB=90°，所以∠AGD=∠ACB,即DF‖BC

△ADF=△ACF（已证），所以DF=CF,∠ADF=∠ACF
又因为△DEF与△CGF为直角三角形，所以△DEF全等于△CGF，所以FG=EF

Answer 2

∵AF平分角CAB∴∠CAF=∠DAF∠∵AF=AF,AC=AD∴△AFC≌ △AFD ∴∠ACF=∠ADF,CF=DF∵∠ACB=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∵CE⊥AB∴∠BAC+∠ACF=90°∴∠ABC=∠ACF ∵∠ACF=∠ADF∴∠ADF=∠ABC∴DF‖BC（2）∵∠ACF=∠ADF,CF=DF,∠GFC=∠EFD∴△GFC≌△EFD∴FG=EF