Question

高等数学，高手请进

计算
1. L是椭圆 的顺时针方向一周
2 L是星形线 的顺时针方向一周

为什么第一小题答案是0，而第二小题不是呢
为什么第一题不用选取路径，而第二题要选取

Answer 1

（0，0）首先不是椭圆上的点
代进去不满足椭圆
也不在椭圆内
所以不是原来积分函数的瑕点
也就是原积分函数在这椭圆内都有意义
然后我们注意看积分函数
是不是满足那个路径无关条件
对吧
所以积分是0
这个简单
难的是第二问

如果我没猜错，第二问应该是2pi
好，我现在和你说为什么
首先看曲线
是不是（0，0）被曲线包住了
也就是在曲线内部
所以原积分函数在星形线上有瑕点
对吧
解决办法有两个
第一个
我们先在0，0
附近开一个反向小圆
为的是在星形线和小圆中间那一环积分就是0了，因为瑕点被去掉了
然后我们就看啊
看那个反向小圆里的积分
小圆我们取很小，半径为r
那么x平方加y平方是不是等于r平方了
我们对这个
要用会最出的求曲线积分的方法
你还记得吧
求一下
答案是-2PI
然后星形线的积分
就是中间环的积分减去反向小圆的积分
所以是2PI

第二种方法
数学物理方法，被积函数满足柯西-黎曼条件
对于有一个瑕点的，直接由结论（在这个第四章留数那里）
，就是2PI

Answer 2

看格林公式。