Question

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)f(b)，且当x<0时，f(x)>1，(1）证函数大于零（2）证减函数

（3）当f(4)=1/16时，解不等式f(x-3)*f(5-x2)<=1/4

Answer 1

方法1(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数，所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当x<0时,有x+a<a,f(x)=f(x+a)/f(a)>1,即f(x+a)>f(a),所以，f(x)为减函数。

方法2.因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2，于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0。因为是非零函数，所以对于任意x都有f(x)不等于0，所以f（x)>0。

Answer 2

(1)若存在x0,使得f(x0)=0,则
f(x)=f(x+x0-x0)=f(x+x0)f(x0)=0,
这与“非零函数f(x)”矛盾。
∴f(x)=[f(x/2)]^2>0.
（2）设x1<x2,则x1-x2<0,
已知x<0时，f(x)>1，∴f(x1-x2)>1.
∴f(x1)=f(x2+x1-x2)
=f(x2)f(x1-x2)>f(x2),
∴f(x)是减函数。

Answer 3

f(0+0)=f(0)f(0),有：f(0)=1.
当x<0时，f(-x+x)=f(0)=f(x)f(-x)=1.因为f(x)>1,有0<f(-x)<1
所以f(x)>0
(1)令a=b=x/2,则有：f(x)=[f(x/2)]^2>0
(2)

Answer 4

(3)
f(4)=f(2+2)=f(2)*f(2)=1/16,又f(2)>0,
f(2)=1/4
f(x-3)*f(5-x^2)<=1/4
f(x-3+5-x^2)<=f(2),又f(x)是减函数,
x-3+5-x^2>=2
x^2-x<=0
0<=x<=1
襄垣二中张晓军