Question

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1

若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1

(1)求证:f(x)大于零,(2)求证f(x)为减函数
(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)乘f(5)小于或等于1/4 要详细过程过程一定一定要极其极其详细

Answer 1

方法1(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数，所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当x<0时,有x+a<a,f(x)=f(x+a)/f(a)>1,即f(x+a)>f(a),所以，f(x)为减函数。
(3)f(x-3).f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)
原不等式化为：f(-x^2+x+2)≤1/4，两边平方，[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16
f[2(-x^2+x+2)]≤1/16
因f(x)为减函数，f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0
解得：0≤x≤1

方法2.因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2，于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0。因为是非零函数，所以对于任意x都有f(x)不等于0，所以f（x)>0。
3.设x1<x2，因为对任意的x属于R，恒有f(x)>0，所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2)，分子分母同时约去f(x2），得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)，因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1，所以f(x)是R上的减函数。

参考资料： 超哥