Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）×f（b），且当x＜0时，f（x）＞1.

（1）f（x）＞0（2）f（x）是减函数
（3）求当f(4)=1/16时，解不等式f(x^2=x－3）×f(5－x^2)＜=1/4
不好意思，（3）是f(x^2+x－3)×f(5－x^2)＜=1/4

Answer 1

由题意得
（1）f(0+a)=f(0)×f(a)，即f(a)=f(0)×f(a)，所以f(0)=1
当a,b互为相反数时，有f(a+b)=f(0)=f(a)×f(b)，即f(a)×f(b)=1，所以f(x)×f(-x)=1
又x<0时，f(x)>1,所以，x<0时，0<f(x)<1
综上，结论得证。
（2）当x1>0,x2>0时，x1+x2>x1,x1+x2>x2，f(x1+x2)-f(x1)=f(x1)f(x2)-f(x1)=f(x1)(f(x2)-1)
又0<f(x2)<1,所以，f(x1+x2)-f(x1)<0
所以，f(x)在（0，+∞）上单调递减。
当x3<0,x4<0时，x3+x4<x3，f(x3)-f(x3+x4)=f(x3)-f(x3)×f(x4)=f(x3)(1-f(x4))
又f(x4)>1,所以f(x3)-f(x3+x4)<0
所以，f(x)在（-∞，0）上单调递减。
综上，题中结论得证。
（3）由x^2=x－3得，f(x^2=x－3）×f(5－x^2)=f(x^2+(5－x^2))=f(5)
f(4)=f(2)×f(2)=1/16，而f(x)>0，所以f(2)=1/4
f(x)是减函数，所以f(5)<=f(2),题中结论得证。

Answer 2

1、首先，若存在a使得f(a)=0，则对任意的x，有f(x)=f(a+x-a)=f(a)*f(x-a)=0，f是零函数。矛盾，因此，f(x)在任一点不为0。其次，f(x)=f(x/2+x/2)=[f(x/2)]^2>0。
2、设x1<x2，x1-x2<0，f(x1-x2)>1，f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)*f(x1-x2)>f(x2)，故f是减函数。
3、f(x^2-x-3)*f(5-x^2)=f(x^2-x-3+5-x^2)=f(2-x)，而f(2)*f(2)=f(2+2)=f(4)=1/16，因此f(2)=1/4，由f是减函数知道f(2-x)<f(2)，得2－x>2，于是x<0。