Question

绝对收敛一定收敛吗？

Answer 1

级数绝对收敛，级数必定收敛。条件收敛有一个要求是加绝对值级数发散。所以级数绝对收敛了就不可能是条件收敛。

绝对收敛与条件收敛是不同的，两者不能同时成立。

绝对收敛是指对级数∑un而言∑|un|收敛。

条件收敛是∑un收敛但是∑|un|发散。

一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。

简单的比较级数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。

由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。