Question

为何收敛一定绝对收敛，但条件收敛不一定呢？

Answer 1

1. 首先理解收敛：

   令∑un = S，如果lim（n->∞）S存在一个确定的值，则级数收敛

2. 现在我们来考量绝对收敛：

   由绝对值的性质来考量，|un| >= un恒成立，且∑|un| >= ∑un,根据比较审敛法的观点来看，若∑|un|收敛，则原级数一定收敛。又由于正项级数通常都比野耐较好判断收敛性，所以在考察级数收敛与否时通常都是先考察是否绝对收敛的。

3. 关于条侍脊棚件收敛：

   既然有了绝对收敛，为何又有条件收敛呢？莱布利兹判断准则告诉我们，对于交错级数，只要满足lim（n->∞）un趋于0，且后老则一项小于前一项就可以证明级数收敛了。我们知道∑1/n是发散的，但∑（-1）^n.1/n却是收敛的，所以条件收敛相当于弥补了一些绝对收敛没有涉及的地方，绝对收敛相当于只把级数看成正项级数来考量了，相当于缩小了相应的范围，条件收敛正好弥补了绝对收敛没有考察到的地方，将范围扩大了一些。