Question

设P是椭圆X^2/9+Y^2/4上一动点，F1.F2是椭圆的两个焦点，则COS角f1pf2的最小值是

Answer 1

a=3,b=2,c=√5，
|PF1|+|PF2|=2a=6,
根据余弦定理，
cos<F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2|PF1|*|PF2|),
设|PF1|=m,(m>0),|PF2|=6-m,
cos<F1PF2=[(|PF1|+PF2|)^2-2|PF1||PF2|-F1F2^2]/(2|PF1|*|PF2|)
=[6^2-2m(6-m)-20]/[2m(6-m)]
=-(m^2-6m+8)/(m^2-6m)
=-1+8/(6m-m^2)
=-1+8/[-(m-3)^2+9]
当m=3时，[-(m-3)^2+9有极大值为9,其倒数为极小，
故cos<F1PF2最小值为-1+8/9=-1/9.

Answer 2

记m = |PF1|, n = |PF2|,那么
|PF1|+|FP2|= 2a = 6,也就是m+n = 6,m,n＞0
另外|F1F2|=2c=2√5
由余弦定理，
cos∠F1PF2 = (m²+n²- |F1F2|²) / 2mn
= (m²+n²-20)/2mn
= [(m+n)²-2mn-20]/2mn
= (16-2mn)/mn
= 16/mn - 2
所以mn最大时，cos∠F1PF2最小，
也就是m=n=3时，cos∠F1PF2最小，为16/9 - 2 = -2/9.