Question

求助一题证明！！！

总体X服从N(u,sigma^2).
x1....xn为样本，u已知，sigma^2未知
x为样本平均值
s^2=[∑(xi^2 - x)]/(n-1),
o^2=[∑(xi^2 - u)]/n

求D（s^2）>D（o^2）
题目写错了，应该是：

总体X服从N(u,sigma^2).
x1....xn为样本，u已知，sigma^2未知
x为样本平均值
s^2=[∑(xi - x)^2]/(n-1),
o^2=[∑(xi - u)^2]/n
求证D（s^2）>D（o^2）

Answer 1

s^2=[∑(xi - x)^2]/(n-1)
==>(n-1)s^2/σ^2=∑(xi - x)^2/σ^2`~χ^2(n-1)
o^2=[∑(xi - u)^2]/n
==>no^2/σ^2==∑(xi - u)^2/σ^2~χ^2(n)
D（(n-1)s^2/σ^2）=2(n-1)
==>[(n-1)^2/σ^4]D（s^2）=2(n-1)==>D（s^2）=2σ^4/(n-1)
D(no^2/σ^2)=2n
==>[n^2/σ^4]D(o^2)==>D(o^2)=2σ^4/n
所以：D（s^2）>D（o^2）