Question

函数证明题

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对于任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0是，f(x)＜0恒成立。
证明韩式是奇函数，是R上的减函数
快点啊，证明过程清楚一点啊！！麻烦麻烦
啊，还有一个
若f(1)=-670,求f(x)在【-3,3】的最大值
麻烦麻烦！！

Answer 1

证明：

∵f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
∴f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
即f(-x)=-f(x)
∴函数y=f(x)是奇函数

在定义域R上任取x1<x2
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0
又当x＞0时，f(x)＜0恒成立
∴f(x2-x1)<0
即f(x2)-f(x1)<0
f(x2)<f(x1)
∴函数y=f(x)是R上的减函数

证毕

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若f(1)=-670,求f(x)在【-3,3】的最大值

由前面证明可知，因为f(x)是R上的减函数，故最大值在x=-3时取得
又f(a+b)=f(a)+f(b)
∴f(-3)=f(-2-1)=f(-2)+f(-1)=f(-1-1)+f(-1)=f(-1)+f(-1)+f(-1)=3f(-1)
又函数y=f(x)是奇函数
∴f(-1)=-f(1)
∴f(-3)=-3f(1)=-3*(-670)=2010

Answer 2

证明:
f(a+b)=f(a)+f(b),
令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0
令b=-a,得f(0)=f(a)+f(-a)=0
即f(-x)=-f(x),又定义域是R
所以,f(x)是奇函数.

2.
设x1>x2.则x1-x2>0,所以,f(x1-x2)<0
所以,f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以,f(x)是R上的减函数

Answer 3

令b=0，f(a)=f(a)+f(0),所以f(0)=0。
令b=-a，f(0)=f(a)+f(-a)。所以f(a)=-f(-a)，所以为奇函数。
令a=x，b=-x。所以f(x)+f(-x)=f(0)=0。当x<0时，-x>0,f(-x)<0,则f(x)>0.令b=x，a>0,则f(x+a)-f(x)=f(a)<0,所以为递减函数。

Answer 4

1楼的第二步做的不完全谨慎。
设x1>x2>0.则x1-x2>0,所以,f(x1-x2)<0
所以,f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
即f()<f(x2)，所以在（0,正无穷）递减
设x1<x2<0,-x1>-x2>0,f(-x1+x2)=f(-x1)+f(x2)=-f(x1)+f(x2)=-{f(x1)-f(x2)}<0,所以f(x1)-f(x2)>0,得在（负无穷，0）递减
所以在R上递减