一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 探索之旅

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2022-07-08 · TA获得超过6836个赞
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        变量是我们在小学探讨过的知识,而在所有的变量之中,我们小学研究过的是正比例关系和反比例关系。

        《玩游戏学数学》系类从书中,每本书的单价10元,购买数量与花费总价的和关系如下:

        在这个例子当中,虽然总价和数量都是一对在变化中的量。但是总价与数量的比值,也就是单价,一直不变。这样两个变量之间的关系,就是正比例关系。

        在这两个变量的关系之中,数量、总价和单价是有名称的。这个例子中,数量是“自己在变化的量”,而总价的变化仅是因为数量在变化。我们把“自己在变化的量”称之为自变量,因为自变量而变化的量,称之为因变量。把一直不变的量(在此情景中,是单价)称之为常量。我们通常把自变量设为x,因变量设成y。在这个例子当中,y是x的函数。那么,什么又是函数呢?

       这是函数的定义:任意给定一个x值,总有一个唯一确定的y值与之对应。

        在这个实际例子当中,我们任意给定一个x的值,也就是任意给定要买的数量,对应的价钱将会是唯一确定的。我们规定,若任意给定一个x值,总有一个唯一确定的y值与之对应。我们就把y称为x的函数。y和x是函数关系。

        函数的表达方式一共有三种,分别是:关系式,表格和图象。先来看一个关系y=x+2,对于这个关系式,我们可以列出一个表格:

        我们以(x,y)为一个点,在平面直角坐标系中,找到这些点。我们随意代入图表中的x和y这一组数对。比如代入:x=-3,y=-1,就会得到数对:(-3,-1),把这些数对在平面直角坐标中标记上,就会得到:

        我们将这些点连城一条线,就会得到这样一个一次函数图象:

       为什么我们可以将这些点连接起来呢?因为每一个图象上的点都是满足函数关系式的,每满足函数关系式的点都在这条函数图象上。并且我们猜测,一次函数的函是一条直线,因为x和y都在成比例的均匀变化。事实是这样的,不过我们现在不能证明。

       这里,我们需要给一次函数一个普遍的关系式,数学界给定的式子是:y=kx+b(k≠0),这样一个式子可以代表任何一个一次函数。这里的k和b表示常数。而k≠0.因为如果k=0,那么y=b,也就是,y等于一个常数,这就不是一次函数了。我们把这样的函数命名为:常函数。就是:不管x取什么值,值都是惟一的,永远不会变。

        如果我们知道了函数图象,函数关系式,是可以求出的。

        如图,我们可以看出:当x=0时,y=2;当x=-2时,y=0.我们先将这个函数关系式设为:y=kx+b(k≠0),因为这是一个普遍的关系式,对于任何一次函数都成立。然后,我们把x=0,y=2代入到这个普遍的关系式当中,因为任何满足这个函数关系的一组数对都会满足这个关系式。可以得到:2=0+b,b=2.所以y=kx+2.

        我们再把x=-2,y=0代入这个关系式,得到:0=-2k+2,求出k=1.

        我们知道b=2,k=1,将它们代入:y=kx+b ,就得到了这个函数图像的关系式:y=x+2.我们把这样的方法叫做:待定系数法。

        下面,我们要探究的是一次函数关系式中的k和b会对函数图象有那些影响。首先来看b。

        如图,下图中,三个颜色的函数图象的关系式是:y=2x-1;y=2x;y=2x+1

        我们发现,这三条线的位置关系是平行的;我们还发现b值为1的函数图象与y轴的交点是(0,1);b值为0的函数图象与y轴的交点是(0,0);b值为-1的函数图象与y轴的交点是(0,-1)。也就是,b的值确定这一次函数函数图象与y轴的交点的纵坐标为(0,b),但不影响图象的倾斜角度。因为上边三条函数图象与x轴形成的夹角是一样的。

        接下来就是关于k对于函数图象的影响。看三个函数关系式和函数图象:y=-x;y=-2x;y=2x

        我们发现,当k的值为正数的时候,所画出的函数图象是“上升状态的”,也就是,y的值会随着x的增大而增大。而如果可得值为负数,小于零。那么函数图象就会由上到下的下降,也就是,y的值随着x的增大而减少。

       因为这三个一次函数的b值都为0,所以和y轴的交点就都是(0,0).而我们发现,这里的k的取值和函数图象倾斜的方向有直接的关系。

       一次函数中k值的意义,就是x每增加1,y值增加多少。如果说k的值为2,那么每当x的值增加1,y增加的就会是2.

       那么关联到函数图象之中,k的值越小,x每增加1,y的值就会增加的越少,那么显然,如果任意代入一个x的数值,k的值越小,这个点距离x轴的距离就会越近。那么对应着的,这个函数图象与x轴的夹角就会越小。K的值越大,x每增加1,y增加的越多。人一代入一个x的值,对应着的y值就会越大。也就是这一个点会更靠近y轴,更远离x轴。所画出的函数图象与x轴的夹角就会越大。这是建立在函数图象实在第一象限的条件下的:k的值越大,图象的与x的夹角就越大,也就是倾斜角度越大。但是要是图象经过第二象限就不一样了。

       因为经过第二象限的图象,x与y需要满足当x的值为负数时y的值为正数。所以k的值必须小于零,为负数。当k的绝对值相对大的时候,乘以x以后的y值就会相对大。任意代入一个x的值,对应的点就会更靠近y轴。当k的绝对值相对小的时候,任意代入一个x值,对应的y值就会相对的小。所画出的一次函数图象与x轴的夹角就会更小。但是因为对于一个负数,绝对值更大的值,数越小。所以其实,k的值越小,函数图象与x轴的夹角就会越大。k的值越小,函数图象与x轴的夹角就会越大。就是说,在图像经过第二象限的时候,k的取值越大,图象与x轴的夹角越大。反之越小。

       我们也可以总结成这样:(不管在第一象限还是第二象限,)k的值越大,图象的倾斜角度就越大。

可以得到,所有b值为0的一次函数图象都经过原点,但是所有经过原点的直线不都一定是一次函数图象。比如说,平行于x轴的直线。

如果一个函数图象平行于x轴,那么不关取什么x的值,y的值都是不变的,这个是常函数,不是一次函数。

       如果平行于y轴呢?那么给定一个x的值,会有无数的y值可以与之对应,这就不再是函数了。所以,在所有过原点的直线中,平行于两个坐标轴的直线不是一次函数。

       这就是这一章节要精确落实的内容。

       那么,我们可以用函数图象解决什么问题呢?最直接的就是不等式的:

       来看一个很简单的一次函数:y=x+1。这个函数的函数图像如下图所示:

    
        根据y=x+1这个关系式,可以得到图像与x轴的交点,(-1,0)。那么当y>0时,x等于多少呢?我们已经得出,当x正好等于-1的时候,y就等于0。那么,当x大于-1的时候,y就大于0.用一把尺子,垂直于x轴,从x轴的负半轴慢慢移向x轴的正半轴。当这把尺子刚好移动到(-1,0)这个点的时候,图像所对应的y值就为零。尺子越来越往右,图像对应的y值也就越来越大。所以,当y>0时,x>0-1.而我们有知道,y是等于x+1的,我们由此可以等量代换,变成当x+1>0时,x>-1.像这样x+1>0含有不等号(>、<、≥、≤、≠)的这些式子,我们命名为:不等式。而满足不等式的(如上边例子中的x>1),并不是一个数字,而是一组数字,我们称之为:解集。

        用同样的方法,当y<0的时候,x<-1才可以在这个函数图像中满足。再利用y=x+1,得到当x+1<0时,x<-1。

        这就是三个一次:一次函数、一元一次方程和一元一次不等式,之间的关系。

        那么,函数的未来朝向哪里呢?这就有很多了。二次函数、三次函数、反比例函数、绝对值函数或者是常函数都是我们未来可以探索的。我们未来可以探索的。
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