Question

关于高一函数的数学题

设f（x）是抛物线，并且当点（x，y）在抛物线图像上时，点（x，y的平方+1）在函数g（x）=f【f（x）】的图像上，，求g（x）的解析式。
要有详细的步骤啊~谢谢了！

Answer 1

设函数y=f(x)=ax²+bx+c.则g(x)=f(y)=ay²+by+c,因为（x,y²+1）在图象上,所以a=1,b=0,c=1. g(x)=f〔f(x)｝=(x²+1)²+1=x＾4+2x²+2

Answer 2

y=f(x)
g（x）=f[f（x）]=y^2+1
则对x求导得：f'[f(x)]*f'(x)=2f(x)*f'(x)
由于f（x）是抛物线，f'(x)不恒等于0，
则必有f'[f(x)]=2f(x)
即f'(x)=2x
则可令f(x)=x^2+b,其中b为实数
则g（x）=f[f（x）]=（x^2+b）^2+b=（x^2+b）^2+1,
则b=1
所以g（x）=（x^2+b）^2+1=x^4+2*x^2+2