Question

a的平方等于2,怎么证a为无理数

Answer 1

a²=2
a=±√2
只要证明√2是无理数,则-√2是无理数也是无理数

假设根号2为有理数，
1²<(√2)²<2²,所以1<√2<2,所以√2不是整数
则根号2可表示为两个最简整数比的形式：
根号2=P/q
两边平方得：2= p²/q²
因为 2q²必为偶数
所以 p必为偶数，设为p=2m，（m属于Z）
则p²=4m²=2q²
p²=2m²,所以，p必为2的倍数，q必为2的倍数！
则p，q必有公因数2，p/q不为最简整数比！
与假设相矛盾
所以，假设错误，根号2为无理数！

Answer 2

用反证法
证明：设a为有理数，就一定可以表示为即约分数。
不妨设a=q/p,p、q∈N*，p,q互质（没有公因子）
则2=a²=(q/p)²，∴q²=2p²----(1)
于是q是2的倍数,设q=2t，代入(1)式得
p²=2t²
因此p也是2的倍数。
“p、q都是2的倍数”与“p,q互质”矛盾，
所以a为无理数