Question

如果函数f(x),当x→x0时极限为A,证明lim(x→x0)│f(x)│=│A│;并举例说明:如果当x→x0时│f(x)│有极限，

f(x)未必有极限。
需要详细过程，谢谢！

Answer 1

1.
引理
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|
因为函数f(x),当x→x0时极限为A，
所以对任给的ε>0，必存在δ0>0，使得当|x-x0|<δ0时有|f(x)-A|<ε。
所以对任给的ε>0，取δ=δ0时，
当|x-x0|<δ时有||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|<ε。
即lim(x→x0)|f(x)|=|A|

2.
如f(x)=1(x≥0),f(x)=-1(x<0)
lim(x→0)|f(x)|=1，
而f(x)在0处没有极限。