Question

已知椭圆x²/4+y²=1,过B(1,0)的弦交椭圆于MN,且向量MN=2向量BN，求MN方程

如上，请尽快解答，万分感谢
不好意思，我题目打错了，应该是向量Mb=2向量BN ，再给看下，万分感谢

Answer 1

设M（x1,y1),N(x2,y2),

向量MB=（1-x1,-y1),

向量BN=（x2-1,y2),

向量MB=2BN,

1-x1=2x2-2,x1=3-2x2,

-y1=2y2,y1=-2y2,

(3-2x2)^2/4+4y2^2=1,

4x2^2-12x2+16y2^2+5=0,(1)

x2^2/4+y2^2=1,

x2^2+4y^2=4,(2),

(2)*(4)-(1)式，

x2=7/4,

x1=-1/2,

y1=√15/4,或y1=-√15/4

y2=-√15/8，或y2=√15/8,

M（-1/2,±√15/4),N(7/4,±√15/8),(负正√15/8）

MN方程：y1/(x1-1)=y/(x-1),

将以上数据代入,

MN直线方程为：

x+(2 √15/5)y-1=0,

或：x-(2 √15/5)y-1=0。

Answer 2

设MN:x=my+1,①
代入x^2/4+y^2=1,化简得
(m^2+4)y^2+2my-3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
由向量MN=2向量BN得
y2-y1=2y2,
∴0=y1+y2=-2m/(m^2+4),
∴m=0.
∴MN的方程是x=1.

Answer 3

设N(X1,X2),由向量Mb=2向量BN，易得M(3-2X1,2Y1),M、N两点带入椭圆方程，联立解出x1，x2，既得MN。