Question

已知f(x)=ax²+1/bx+c(a,b,c属于Z)是奇函数,又f(1)=2,f(2)<3,且f(x)在[1,正无穷)上递增

1。求a,b,c的值
2。当x＜0时，讨论f(x)的单调性

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Answer 1

1、f（-x）=(ax²+1)/（-bx+c）
∵f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（x）
即：(ax²+1)/（bx+c）=(ax²+1)/（bx-c）
∴bx+c=bx-c
∴c=0
∵f（1）=2，即(a+1)/b=2
∴a+1=2b，即a=2b-1
f(2)=(4a+1)/2b＜3
即4a+1＜6b
将a=2b-1代入上式得
4（2b-1）+1＜6b
∴b＜3/2
∴b=1
∴a=2×b-1=1
综上，a=1，b=1，c=0

2、由奇偶性，仅考虑x>0时单调性。f(x)=(x^2+1)/x=x+(1/x).易知，在（0，1]上，f(x)递减，在[1,+∞)上，f(x)递增。故由奇函数的性质知，在（-∞，-1]上，f(x)递增，在[-1,0)上，f（x)递减。