Question

全微分方程求解

第四道选择题 解题过程我没看懂 最开始那个几个步骤 求详解谢谢

Answer 1

1考虑形如P(x.y)dx+Q(x.y)dy-0的微分方程,如果它的左边恰好是某个函数的全微分,即存在u(x,y)使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则称上述方程为全微分方程。
显然若P(x,y)dx+Q(x.y)dy是u(x,y)的全微分,则由du=0可得u(x,y)-C (C为任意常数) ,这就是全微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的(隐式)通解。
全微分方程的判断及求解的方法,注意不是所有形如 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy-0的方程都是全微分方程的。根据定义,全微分方程等价于判断 P ( xy ) dx + Q ( x , y ) dy 是某个函数的全微分,因此有下面的“判定定理”:,当 P ( x , y ), Q ( x , y )在某个单连通域 G 内具有一阶连续偏导数时,方程 P ( x , y ) dx + Q ( x , y )dy=0是全微分方程的充要条件是张-在区域 G 内恒成立。,前面已指出全微分方程的通解形如 u ( x , y )= C ,因此求解全微分方程只须求出 u ( x , y ),而这显然就是上一节中介绍的二元函数全微分求积问题,