高中数学题（有详细解答过程给分）
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我贴出n种方法，你懒就看一种，想看多种解法就慢慢看。
法一：
(1)证明：由f(1)=1^2+2b+c=1+2b+c=0，解得b=-(1+c)/2
再由c＜b＜1，得c＜-(1+c)/2＜1，解得-3＜c＜-1/3
又方程f(x)+1=0有实根，即x+2bx+c+1=0有实根，
故Δ=4b^2-4(c+1)≥0，即(c+1)^2-4(c+1)≥0
解得c≥3或c≤-1，故-3＜c≤-1，
再由b=-(1+c)/2，得0≤b＜1
(2)f(m-4)＞0
证明: 由已知得f(m)=-1＜0，
∴c＜m＜1，即c-4＜m-4＜-3＜c
即x=m-4在开口向上的抛物线f(x)与x轴左交点的左边，
故f(m-4)＞0
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法二：
1)。由题意知：函数f(x)=0实根1。则有4b^2-4ac>=0。
而y=f(x)+1=0有实根，则有4b^2-4c-4>=0，即b^2-c>=1则b^2-c-1>=0。故b^2-c>0。
则有(x-1)(x+n)=0则有x^2+(n-1)x-n =0。即c=-n。2b=n-1。则有b=(n-1)/2。而1>b>c。则1>(n-1)/2>c。
即1>(n-1)/2>-n。则3>n>1/3。。
而因为b^2-c-1>=0得(n-1)^2+n-1>=0,则有n(n-1)>=0得到n=<0或者n>=1。
综上可得:3>n>=1。而c=-n，故-3<c=<-1。而b=(n-1)/2，故0=<b<1。得到-3<c=<-1，且b>=0。
(2).因为m为y=f(x)+1的一个零点，则有x^2+2bx+c+1=0有实根为m。设根为x1=m，x2。
则有m+x2=-2b。mx2=c+1。x2=-2b-m。则有
即m^2+2bm+c+1=0。
函数f(x)=x^2+2bx+c的对称轴为x=-b。且函数f(x)开口向上。故当x=-b时，函数f(x)最小，为c-b^2<0。
而设函数f(x)=0的2个根为x1=1，x2。则有x1+x2=-2b即x2=-2b-1,则-3<x2=<-1。而x1*x2=c。得x2=c，则故函数f(x)在x属于区间(负无穷，x2),(x1,正无穷)上大于0。而x2>-3,x1=1。故f(x)在x属于区间(负无穷，-3)，(1,正无穷)上，一定大于0。
则根据函数图像知:y=f(x)+1是将函数f(x)沿着y轴向上平移1。则可得y=f(x)+1跟x轴的2个交点。x1‘=m，x2’=n。有2个函数图像知：-3<x1‘<1。 -3<x2’<1。
即-3<m<1。则-7<m-4<-3。故x=m-4属于区间(负无穷，-3)。而f(x)在x属于区间(负无穷，-3)上，一定大于0。所以f(m-4)>0。
第二道小题，你要画出来函数图像就好解了，如果用算术式去计算的话，实在是太麻烦，用求根公式去确定m的范围即可。即4b^2-4c>b^2-4c-4>=0得到(4b^2-4c)^0.5>(b^2-4c-4)^0.5>=0分别用求根公式里的根将f(x)=0跟f(x)+1=0的根写出来，用上面那个式子把m的范围确定下来，也可以但是没有画图来的直接。
而且函数f(x)的图根据题上的函数知道是开口向上而由题（1）知b^2-c>0。故f(x)跟x轴有2个交点，画出来示意图，再将此图上移即可得到f(x)+1的图像。然后可以看到f(x)+1跟x轴的交点必然在f(x)跟x轴的2个交点之间。这样将此交点的范围就可以确定，根据上面的区间判断就可以得出结论。
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法三：
（1）由f(1)=0.===>1+2b+c=0.===>c=-2b-1.故f(x)=x^2+2bx-2b-1.又-2b-1=c<b<1===>-1/3<b<1.方程f(x)+1=0.即x^2+2bx-2b=0有实根，故△=(2b)^2+8b》0.===>b(b+2)》0.又-1/3<b<1.===>0《b<1.(2)当0《b<1时，易证:0《b^2+2b<3.===>0《√(b^2+2b)<√3.(3)由题设知，f(m)+1=0===>m^2+2bm-2b=0===>(m+b)^2=b^2+2b===>|m+b|<√3.===>-8√3<-8(m+b)<8√3.===>0<15-8√3<15-8(m+b)<15+8√3.===>15-8(m+b)>0.(4)结合f(m)+1=0,可得：f(m-4)=15-8(m+b)>0.即f(m-4)>0.
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法四：
令g(x)=y=f(x)+1
1),由 f(1)=0 可得 c=-1-2b;又 c<b, 有-(1/3)<b
而题设g(x)有实根，故判别式4b~2+8b>=0，解之得 b<=-2或b>=0；而-(1/3)<b<1，故有0<=b<1；又由 c=-1-2b 可解得 -3<c<=-1
2)，由f(x)=0的判别式4b~2+4(1+2b)=4(b+1)~2，和0<=b<1可知 4<=判别式<16，所以f(x)有两个根，且两个根之间的距离满足 2<=(x2-x1)<4 (设f(x)=0的两个根为x1,x2且设x1<x2(其中有个值为1))
由f(x)和g(x)的关系(坐标系上，g是由f向上平移1个单位得到)可知，m<x2，故m-4<x2-4,所以m-4<x1，而f(x)图像开口向上，故f(m-4)>0
法一：
(1)证明：由f(1)=1^2+2b+c=1+2b+c=0，解得b=-(1+c)/2
再由c＜b＜1，得c＜-(1+c)/2＜1，解得-3＜c＜-1/3
又方程f(x)+1=0有实根，即x+2bx+c+1=0有实根，
故Δ=4b^2-4(c+1)≥0，即(c+1)^2-4(c+1)≥0
解得c≥3或c≤-1，故-3＜c≤-1，
再由b=-(1+c)/2，得0≤b＜1
(2)f(m-4)＞0
证明: 由已知得f(m)=-1＜0，
∴c＜m＜1，即c-4＜m-4＜-3＜c
即x=m-4在开口向上的抛物线f(x)与x轴左交点的左边，
故f(m-4)＞0
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法二：
1)。由题意知：函数f(x)=0实根1。则有4b^2-4ac>=0。
而y=f(x)+1=0有实根，则有4b^2-4c-4>=0，即b^2-c>=1则b^2-c-1>=0。故b^2-c>0。
则有(x-1)(x+n)=0则有x^2+(n-1)x-n =0。即c=-n。2b=n-1。则有b=(n-1)/2。而1>b>c。则1>(n-1)/2>c。
即1>(n-1)/2>-n。则3>n>1/3。。
而因为b^2-c-1>=0得(n-1)^2+n-1>=0,则有n(n-1)>=0得到n=<0或者n>=1。
综上可得:3>n>=1。而c=-n，故-3<c=<-1。而b=(n-1)/2，故0=<b<1。得到-3<c=<-1，且b>=0。
(2).因为m为y=f(x)+1的一个零点，则有x^2+2bx+c+1=0有实根为m。设根为x1=m，x2。
则有m+x2=-2b。mx2=c+1。x2=-2b-m。则有
即m^2+2bm+c+1=0。
函数f(x)=x^2+2bx+c的对称轴为x=-b。且函数f(x)开口向上。故当x=-b时，函数f(x)最小，为c-b^2<0。
而设函数f(x)=0的2个根为x1=1，x2。则有x1+x2=-2b即x2=-2b-1,则-3<x2=<-1。而x1*x2=c。得x2=c，则故函数f(x)在x属于区间(负无穷，x2),(x1,正无穷)上大于0。而x2>-3,x1=1。故f(x)在x属于区间(负无穷，-3)，(1,正无穷)上，一定大于0。
则根据函数图像知:y=f(x)+1是将函数f(x)沿着y轴向上平移1。则可得y=f(x)+1跟x轴的2个交点。x1‘=m，x2’=n。有2个函数图像知：-3<x1‘<1。 -3<x2’<1。
即-3<m<1。则-7<m-4<-3。故x=m-4属于区间(负无穷，-3)。而f(x)在x属于区间(负无穷，-3)上，一定大于0。所以f(m-4)>0。
第二道小题，你要画出来函数图像就好解了，如果用算术式去计算的话，实在是太麻烦，用求根公式去确定m的范围即可。即4b^2-4c>b^2-4c-4>=0得到(4b^2-4c)^0.5>(b^2-4c-4)^0.5>=0分别用求根公式里的根将f(x)=0跟f(x)+1=0的根写出来，用上面那个式子把m的范围确定下来，也可以但是没有画图来的直接。
而且函数f(x)的图根据题上的函数知道是开口向上而由题（1）知b^2-c>0。故f(x)跟x轴有2个交点，画出来示意图，再将此图上移即可得到f(x)+1的图像。然后可以看到f(x)+1跟x轴的交点必然在f(x)跟x轴的2个交点之间。这样将此交点的范围就可以确定，根据上面的区间判断就可以得出结论。
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法三：
（1）由f(1)=0.===>1+2b+c=0.===>c=-2b-1.故f(x)=x^2+2bx-2b-1.又-2b-1=c<b<1===>-1/3<b<1.方程f(x)+1=0.即x^2+2bx-2b=0有实根，故△=(2b)^2+8b》0.===>b(b+2)》0.又-1/3<b<1.===>0《b<1.(2)当0《b<1时，易证:0《b^2+2b<3.===>0《√(b^2+2b)<√3.(3)由题设知，f(m)+1=0===>m^2+2bm-2b=0===>(m+b)^2=b^2+2b===>|m+b|<√3.===>-8√3<-8(m+b)<8√3.===>0<15-8√3<15-8(m+b)<15+8√3.===>15-8(m+b)>0.(4)结合f(m)+1=0,可得：f(m-4)=15-8(m+b)>0.即f(m-4)>0.
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法四：
令g(x)=y=f(x)+1
1),由 f(1)=0 可得 c=-1-2b;又 c<b, 有-(1/3)<b
而题设g(x)有实根，故判别式4b~2+8b>=0，解之得 b<=-2或b>=0；而-(1/3)<b<1，故有0<=b<1；又由 c=-1-2b 可解得 -3<c<=-1
2)，由f(x)=0的判别式4b~2+4(1+2b)=4(b+1)~2，和0<=b<1可知 4<=判别式<16，所以f(x)有两个根，且两个根之间的距离满足 2<=(x2-x1)<4 (设f(x)=0的两个根为x1,x2且设x1<x2(其中有个值为1))
由f(x)和g(x)的关系(坐标系上，g是由f向上平移1个单位得到)可知，m<x2，故m-4<x2-4,所以m-4<x1，而f(x)图像开口向上，故f(m-4)>0
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