Question

已知x+x^(-1)=3,求下列各式的值（1）x^0.5+x^-0.5 (2)x^2+x^-2 (3)x^2-x^-2

按正常解法为：（1）x^0.5+x^-0.5
=√（x^0.5+x^-0.5）^2
=√[(x+x^(-1))+2]
=√5

（2）x^2+x^-2
=(x+x^-1)^2-2
=9-2=7

（3）x^2-x^-2
=(x+x^-1)(x-x^-1)
=3(x-x^-1)

x-x^-1=√[（x+x^-1)^2-4]=√5
或x-x^-1=－√[（x+x^-1)^2-4]=－√5

x^2-x^-2＝3√5
或
x^2-x^-2＝-3√5
（可是为什么第一问中y=√5而不是±√5，在第三问中却是±√5，有什么区别吗？）

Answer 1

x与x^-1显然同号，故相加为正，则二者皆正，（1）中也为相加不可能出现负值，（3）中为相减，由题目信息无法判断x与x^-1的大小关系，故答案为+/-

Answer 2

在实数范围内第一题为2个正数之和，值域属于正数；第三题为两个正数之差，值域可以取到负数。