Question

用数学归纳法证明： n>=6时， 不等式 (n/3)^n < n! < (n/2)^n

已知(1+1/x)^x 在x>=1时无限接近y=e，用数学归纳法证明： n>=6时， 不等式 (n/3)^n < n! < (n/2)^n。
这道题难度大，所以给出100分。有人解答，并采纳为最佳答案追加100分。

Answer 1

这题很难吗？
只要知道2 <= (1+1/n)^n < 3就够了。

归纳基础先验证一下，然后直接做就行了

(n+1)! = n!(n+1) > (n/3)^n * (n+1) = [n/(n+1)]^n * [(n+1)/3]^n * (n+1) > 1/3 * [(n+1)/3]^n * (n+1) = [(n+1)/3]^{n+1}

(n+1)! = n!(n+1) < (n/2)^n * (n+1) = [n/(n+1)]^n * [(n+1)/2]^n * (n+1) < 1/2 * [(n+1)/2]^n * (n+1) = [(n+1)/2]^{n+1}