Question

用数学归纳法证明 ((n+1)/2)^n > n! (n∈N*, n≥2)

Answer 1

n=2 ((n+1)/2)^n= [(2+1)/2]^2=2.25 n!=2*1=2 所以((n+1)/2)^n> n!成立。
n>2 假设n=k时原式成立，即((K+1)/2)^K> K! 即(k+1)^k/2^k>K! ........(1)
则n=k+1时，((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K) ..........(2)
因(K+2)^(k+1)>2(k+1)^(k+1) ........(3)
(3)代入(2) ((K+1+1)/2)^(K+1)=(K+2)^(k+1)/(2*2^K)>2(k+1)^(k+1)/(2*2^K)=(k+1)^(k+1)/2^K=(k+1)*(k+1)^k/2^K ...........(4)
将(1)代入(4) 得 ((K+1+1)/2)^(K+1)>(k+1)*k!=(k+1)! 即n=k+1时((n+1)/2)^n > n! 成立。

Answer 2

n=2时，((n+1)/2)^n=9/4>n=2
假设n=k-1时，有(k/2)^(k-1)>(k-1)!,
即有 k^(k-1)/2^(k-1)>(k-1)!
==> k^k/2^(k-1)>k!
又：((k+1)/k)^k>2
==> (k+1)^k/2^k>k!
即 ((n+1)/2)^n > n! 对n=k成立。
综上，((n+1)/2)^n > n! 对任意n≥2成立

希望对你有帮助，望采纳，谢谢~

追问

数学归纳法一般假设 n=k 吧?
而且
k^(k-1)/2^(k-1)>(k-1)!
==> k^k/2^(k-1)>k!
有点不理解 :(

追答

哦 从n=k推n=k+1和从n=k-1推n=k是一样的 这个无所谓。

k^(k-1)/2^(k-1)>(k-1)! （1）
==> k^k/2^(k-1)>k! （2）

不等式（1）两边同时乘以k即得不等式（2）

追问

想了这么久, 还是有点不明白 :(
可以用常规的格式 (n=k, n=k+1) 来证明吗