Question

问三道数学题，关于求函数解析式的（高中生进）

1.设f（x）为定义在R上的函数，满足f（-x）=f（x）。当x≤-1时，y=f（x）的图像是经过
（-2,0），（0,2）的射线，又在y=f（x）的图像中有一部分是顶点为（0，2），且过点
（-1,1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式。
2.已知f（1/x）=x+根号下1+x²，x＞0，求f（x）
3.已知函数f（x）=（ax+b）÷（x²+b）的值域为[-1,4]，求a，b的值

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Answer 1

1.f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。
由题x≤-1时y=f（x）=x+2
则x≥1时y=f（x）=-x+2
抛物线部分：设f(x)=ax^2+bx+c,则c=2
又在其为偶函数情况下过（-1,1），则必过（1,1）
所以带入得a=-1，b=0
f(x)=-x^2+2（-1≤x≤1）
2.f（1/x）=x+根号下1+x²
则f（1/x）=1/(1/x)+根号下1+[1/(1/x)]^2
则f(x)=1/x+根号下1+[1/x]^2
-1≤（ax+b）÷（x²+b）≤4
则ax+b≤4x²+4b与x²+b≤ax+b恒成立
则 Δ≤0
即可解出
解不出具体值，是个范围

1.设f（x）为定义在R上的函数，满足f（-x）=f（x）。当x≤-1时，y=f（x）的图像是经过
（-2,0），（0,2）的射线，
∴y=x+2(x<=-1);
当x>=1时-x<=-1,f(x)=f(-x)=-x+1;
又在y=f（x）的图像中有一部分是顶点为（0，2），且过点（-1,1）的一段抛物线，
∴f(x)=2-2x^2(-1<x<1).
综上，f（x）={x+2(x<=-1);
{2-2x^2(-1<x<1)；
{-x+1(x>=1).

2.f（1/x）=x+√（1+x²），x＞0，
∴f（x）=1/x+√[1+(1/x)^2]
=[1+√(x^2+1)]/x.

3.已知函数f（x）=（ax+b）÷（x²+b）的值域为[-1,4]，求a，b的值
首先，b>0,
其次，-（x^2+b)<=ax+b<=4（x^2+b),
∴x^2+ax+2b>=0,4x^2-ax+3b>=0,
且方程x^2+ax+2b=0,4x^2-ax+3b=0均有实数解，
∴a^2-8b=0,a^2-48b=0,
∴b=0.矛盾。
本题无解。

Answer 2

1.设f（x）为定义在R上的函数，满足f（-x）=f（x）。当x≤-1时，y=f（x）的图像是经过
（-2,0），（0,2）的射线，
∴y=x+2(x<=-1);
当x>=1时-x<=-1,f(x)=f(-x)=-x+1;
又在y=f（x）的图像中有一部分是顶点为（0，2），且过点（-1,1）的一段抛物线，
∴f(x)=2-2x^2(-1<x<1).
综上，f（x）={x+2(x<=-1);
{2-2x^2(-1<x<1)；
{-x+1(x>=1).

2.f（1/x）=x+√（1+x²），x＞0，
∴f（x）=1/x+√[1+(1/x)^2]
=[1+√(x^2+1)]/x.

3.已知函数f（x）=（ax+b）÷（x²+b）的值域为[-1,4]，求a，b的值
首先，b>0,
其次，-（x^2+b)<=ax+b<=4（x^2+b),
∴x^2+ax+2b>=0,4x^2-ax+3b>=0,
且方程x^2+ax+2b=0,4x^2-ax+3b=0均有实数解，
∴a^2-8b=0,a^2-48b=0,
∴b=0.矛盾。
本题无解。

Answer 3

1.f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。
由题x≤-1时y=f（x）=x+2
则x≥1时y=f（x）=-x+2
抛物线部分：设f(x)=ax^2+bx+c,则c=2
又在其为偶函数情况下过（-1,1），则必过（1,1）
所以带入得a=-1，b=0
f(x)=-x^2+2（-1≤x≤1）
2.f（1/x）=x+根号下1+x²
则f（1/x）=1/(1/x)+根号下1+[1/(1/x)]^2
则f(x)=1/x+根号下1+[1/x]^2
-1≤（ax+b）÷（x²+b）≤4
则ax+b≤4x²+4b与x²+b≤ax+b恒成立
则 Δ≤0
即可解出
解不出具体值，是个范围

Answer 4

不想写