Question

如下图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN\\BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的

角平分线于点F，(1)求证；EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论

Answer 1

1.设在BC延长线上有一点D
∵EF//MN
∴∠OEC=∠BCE ∠OFC=∠DCF
又∵CE、CF分别是∠ACB和∠ACD平分线
∴∠OCE=∠BCE ∠ACF=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE ∠OFC=∠OCF
∴OE=OC OF=OC
故OE=OF

2.若四边形AECF是矩形
则AC、EF互相平分
那么点O是AC中点
证明：
当点O移动到AC中点时，AC、EF互相平分
则四边形AECF是平行四边形
且∠ECF
=∠OCE+∠OCF
=1/2∠ACB+1/2∠ACD
=1/2(∠ACB+∠ACD)
=180°×1/2
=90°
∴四边形AECF是矩形

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Answer 2

MN交<BCA的平分线于E,交<BCA的外角平分线于F,MN//BC
则：角OEC＝角BCE＝角ACE，则OE＝OC，
角CFO＝角BCA的外角/2＝角FCO，则OF＝OC
则OE=OF,角ECF＝90度

当O点运动到AC的中点时，EF与AC互相平分时，四边形AECF为矩形

Answer 3

　　1.设在BC延长线上有一点D
∵EF//MN
∴∠OEC=∠BCE ∠OFC=∠DCF
又∵CE、CF分别是∠ACB和∠ACD平分线
∴∠OCE=∠BCE ∠ACF=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE ∠OFC=∠OCF
∴OE=OC OF=OC

故OE=OF

2.若四边形AECF是矩形
则AC、EF互相平分
那么点O是AC中点
证明：
当点O移动到AC中点时，AC、EF互相平分
则四边形AECF是平行四边形
且∠ECF
=∠OCE+∠OCF
=1/2∠ACB+1/2∠ACD
=1/2(∠ACB+∠ACD)
=180°×1/2
=90°
∴四边形AECF是矩形