Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证：（1）D,B,E,F四点共面 （2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线
过程要详细点，谢谢各位了....

Answer 1

第一个问题：
∵E、F分别是C1D1、B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥D1B1。
∵ABCD－A1B1C1D1是立方体，∴BB1∥DD1、BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，
∴DB∥DB1，结合证得的EF∥D1B1，得：EF∥DB，∴D、B、F、E共面。

第二个问题：
∵AC∩BD=P、A1C1∩EF=Q，∴EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线。
∵A1C交平面DBFE于R点，∴R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点。
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，∴P、Q、R三点共线。

Answer 2

⑴ EF‖D1B1‖DB,EFBD是梯形。BF＝（√5/2）AB＝DE.EFBD是等腰梯形。对角

互补。D、B、F、E四点共面。

⑵。 P、Q、R∈平面EFBD∩平面AA'C'C＝PQ,P、Q、R三点共线。

Answer 3

连接D1B1
∵E，F是D1C1，C1B1中点
∴EF平行等于1/2D1B1
又∵D1D平行等于B1B
∴四边形D1DBB1是平行四边形
∴D1B1平行等于DB
∴EF平行等于1/2DB
∴D，B，E，F四点共面