Question

怎样证明函数连续可导

Answer 1

问题一：如何证明函数在x＝0处的可导性与连续性 要在x=0处连续，那么函数在0处的左右极限要都存在并且和该点的函数值相等；而可导性是建立在连续的基础上的，可导必连续，然后用导数的定义，如果在此点处左右导数均相等，那么在该点处可导。

问题二：如何证明函数处处连续，又如何证明处处可导 用定义证明：
对任意x0∈R，任意ε>0，总存在正数d，使对所有|x-x0|x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f(x)在R上处处可导

问题三：如何证明函数在某区间可导或连续 连续：该函数在区间内任意点的导数等于该点处的函数值
可导：在连续的基础上，若在区间任意点的左导数等于右导数，则可导

问题四：高等数学 连续性和可导性如何证明 高等数学中的函数才能谈到连续性与可导性
下面说一元函数就是只有一个自变量那种 比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)
先提下基本初等函数 ：常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数
A基本初等函数复合而成的复合函数 无论多么复杂 在它定义域上连续并可导！！
证明的时候：
【1】比如要你证明该函数在x=a处连续
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f(x)
2 lim(x趋近于a)=limf(a)(此处暗含函数本身必须在x=a处有定义 否则直接判定他不连续，点都没有还如何连续)
满足上述1 2即可
这很难么？
或者对于一元函数来讲 可导必连续 可以先判定函数本身可导 那么他一定连续
牢记：对于初等函数与初等函数的复合函数而言 在定义域上 既可导又连续
【2】比如你要证明y=f(x)在x=a处可导
你先假设可导 那么有一个导函数y'=f'(x)
判定导函数导函数y'=f'(x)是否可导可按上述方法 一样的
那么只需要
1 lim(x趋近与a+,也就是右极限，右侧的极限，加号表示大于a)f'(x)=
lim(x趋近与a-,也就是左极限，左侧的极限，减号表示小于于a)f'(x)
满足上述1 即可 此处注意不需要导函数在x=a处有定义 可以说比连续的判断还要简单。
B 如果函数本身不是基本初等函数或其复合而成 那么就需要根据定义来 同样简单。