Question

函数f（x）对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x<0时fc(x)<1 1.求f(0) 2.求证：f(x)在R上为增函数

3。如果f(4)=7,解不等式f(2x+1)<4

Answer 1

1. 令x=0,y=0得到f（0）=f（0）+f（0）-1
从而 f(0)=1

2.
令x1<x2,则f（x1）-f（x2）= f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1,
由于当x<0时f(x)<1，而x1-x2<1,
所以 f（x1）-f（x2）<0,故f(x)在R上为增函数

3.
由f(4)=7得到 f(2+2)=f(2)+f(2)-1=7，从而f（2）=4
所以 由f(2x+1)<4得到
f(2x+1)<f（2）
由于f(x)在R上为增函数，故有
2x+1<2
所以
x<1/2