Question

2道初三几何题

1如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=10,点E在边AB 的延长线上，BE=3，EG交BC于点F，交AD于G，且FG平分矩形的面积，求BF和AG的长.

2。已知：如图，F是正方形ABCD的边AB上的重点，AE=四分之一AD，FG⊥EC
求证：FG^2=EG乘以GC

Answer 1

（1）解：因为矩形ABCD被FG平分，所以梯形ABFG的面积=AD*AB/2=4*10/2=20
又因为梯形ABFG的面积=（AG+BF）*AB/2 所以 AG+BF=10
因为AD//BC 所以∠BFE=∠AGE ,∠FBE=∠GAE=90°。
所以 △BFE∽△AGE 所以 BF/AG=BE/AE=3/7
通过解二元一次方程：BF/AG=3/7,AG+BF=10 得AG=7 BF=3.
(2）证明：连接EF
因为F是正方形ABCD的AB上中点，所以AF=BF=1/2*AB=1/2*AD=1/2*BC
又因为AE=1/4*AD，BF=2AE.
在△AFE和△BCF中，
BF=2AE,CB=2AF,∠EAB=∠ABC=90°。
所以△AFE∽△BCF
所以 ∠EFA=∠FCB=90°-∠CFB 即∠EFA+∠CFB=90°。
同理证明△EGF∽△FGC （角对应相等）
所以 FG/GC=EG/FG 即FG^2=EG*GC

Answer 2

解1：∵⊿EBF∽⊿EAG
∴BF∶AG=BE∶AE,∴BF=3AG/7
∵FG平分ABCD的面积
∴BF+AG=AD=10
∴3AG/7+AG=10,AG=7
∴BF=3
证明2：连接EF,设正方形边长是X
EF²=AE²+AF²=X²/4+X²/16=5X²/16
CF²=BF²+BC²=5X²/4=20X²/16
EC²=DE²+CD²=25X²/16
∴CE²=EF²+CF²
∴EF⊥CF
∴⊿EFG∽⊿FCG
∴EG∶FG=FG∶GC
FG²=EG×GC