Question

已知函数f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),数列An满足a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0

1.试探究数列(an)-1是否为等比数列
2.试证明∑ai>=1+n
3.设bn=3f(an)-g[A(n+1)],试探究数列bn是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在说明理由

Answer 1

1.(a(n+1)-an)4(an-1)+(an-1)²=0
(an-1)(4a(n+1)-4an+an-1)=0
4a(n+1)=3an+1
a(n+1)-1=(3/4)(an-1)
an-1为首项为1公比为3/4的等比数列
2.an-1=(3/4)^(n-1)
an=(3/4)^(n-1)+1
sn=(1-(3/4)^n)/(1-3/4)+n
sn=4-4*(3/4)^n+n≥1+n
3.bn=3(an-1)²-4(a(n+1)-1)
a(n+1)-1=3/4*(an-1)
bn=3(an-1)²-3(an-1)
bn=3((an-1)-1/2)²-3/4
bn=3((3/4)^(n-1)-1/2)²-3/4
(3/4)^(n-1)无最小值，最大为1,n=1时，此时bn有最大项，b1=0
只有(3/4)^(n-1)最接近1/2时，bn有最小项
n=2,3/4>1/2,3/4-1/2=1/4
n=3,9/16>1/2,9/16-1/2=1/16
n=4,27/64<1/2,1/2-27/64=5/64>1/16
所以当n=3时,bn有最小项，b3=3/256-3/4=-189/256