Question

一道函数题，高分求解！要有详细过程！

设f(logaX)=a(x^2-1)/x(a^2-1)(a>0且a≠1)；

1）求函数f(x)的解析式；

2）判断函数y=f(x)的奇偶性；

3）证明函数f(x)的图像上任意两点的连线的斜率大于0；

4）对于f(x)，当x∈（-1，1）时，恒有f(1-m)+f(1-m^2)<0，求m的取值范围。

Answer 1

1）令logax=t 则 x=a^t f(t)=a(a^2t-1)/a^t(a^2-1)
所以f(x)=a(a^2x-1)/a^x(a^2-1)
2）f(-x)=a[a^(-2x)-1]/a^(-x)(a^2-1)=a(1-a^2x)/a^x(a^2-1)=-f(x)
(分子分母同乘以a^2x)
f(x)为奇函数
3）设两点（x1,f(x1)),(x2,f(x2)),x1>x2，两点连线的斜率为K
k=[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)
=[a(a^2x1-1)/a^x1(a^2-1)-a(a^2x2-1)/a^x2(a^2-1)]/(x1-x2)
=a/(a^2-1)*[(a^2x1-1)/x1-(a^2x2-1)/x2)]/(x1-x2)
=a/(a^2-1)*[a^(x1+x2)+1/a^(x1+x2)]*[(a^x1-a^x2)/(x1-x2)]
a^(x1+x2)+1/a^(x1+x2)恒为正数
当a>1时，Y=a^x在定义域内是增函数，有(a^x1-a^x2)/(x1-x2)>0 ,
且a/(a^2-1)>0 此时K>0
当0<a<1时，Y=a^x在定义域内是减函数，有(a^x1-a^x2)/(x1-x2)<0，
且a/(a^2-1)<0 此时K>0
所以函数f(x)的图像上任意两点的连线的斜率大于0m
4）x∈（-1，1）时，m应满足 -1<1-m<1且 -1<1-m^2<1
得它们的解集为（0，√2）
f(x)为奇函数 f(1-m)+f(1-m^2)<0可转化为f(1-m)-f(m^2-1)<0
在（0，√2）内，m=1时，1-m=m^2-1。这时f(1-m)-f(m^2-1)=0故m=1不满足
m=1不成立时，由3）结果知[f(1-m)-f(m^2-1)]/[(1-m)-(m^2-1)]>0
所以要得到f(1-m)-f(m^2-1)<0必有(1-m)-(m^2-1)<0
即 m^2+m-2>0 解为m>1或m<-2
综上可知m取值为 1<m<√2

Answer 2

令m=logaX，则X=a^m
f(m)=a(a^2m-1)/a^m(a^2-1)
即f(x)=a(a^2x-1)/a^x(a^2-1)
f(-x)=a(a^-2x-1)/a^-x(a^2-1)
化简得f(-x)=a(1-a^2x)/a^x(a^2-1)=-f(x)
为奇函数
3，只需证明x>0时f'(x)大于零即可
有1知f(x)为奇函数
所以f(1-m^2)=-f(m^2-1)
则只需f(1-m)-f(m^2-1)<0
即f(m^2-1)-f(1-m)>0
则[f(m^2-1)-f(1-m)]/(m^2-1-1+m)>0
由3知只需在m^2+m-2>0时，f(m^2-1)-f(1-m)>0
显然f'(x)>0，f(x)为增函数
所以解为m>1或m<-2
又1-m^2与1-m∈（-1，1）所以解出m<根号2大于1