Question

函数cotπz/(2z-3)在|z-i|=2内的奇点个数为（）

Answer 1

观察函数 $\cot(\pi z)/(2z-3)$，注意到当 $2z-3=0$ 时，即 $z=3/2$ 时，函数有一个一阶极点。因此我们只需要在 $|z-i|=2$ 这个圆内寻找是否还有其它奇点。
首先注意到 $\cot(\pi z)$ 的奇点在 $z=n$，其中 $n$ 是任意整数。因此，我们只需要看分母 $2z-3$ 在 $|z-i|=2$ 内是否有根即可。在复平面上，$2z-3=0$ 对应着点 $z=3/2$，因此我们只需要判断点 $z=3/2$ 是否在圆 $|z-i|=2$ 内部。
画出圆和点的示意图，我们可以发现圆与点的距离为 $|i-3/2|=5/2$，而圆的半径为 $2$，因此圆与点不相交，点 $z=3/2$ 不在圆 $|z-i|=2$ 内部。
综上所述，函数 $\cot(\pi z)/(2z-3)$ 在 $|z-i|=2$ 内只有一个奇点，即 $z=3/2$ 处的一阶极点。