Question

必修二数学问题

Answer 1

有三条互相垂直的边且交于一点的情况下，用空间向量的方法求解是思路最简单的，就是计算量大了一点。
以A为原点、AB为x轴、AD为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系。设AB长为a，AD长为b，AP长为c。
则M(a/2, 0, 0)
P(0,0,c)
C(a,b,0)，D(0,b,0)
那么PC中点N的坐标是(a/2,b/2,c/2)
向量MN就是(0,b/2,c/2)
向量CD就是(-a,0,0)
所以向量MN和向量CD的数量积为0（计算方式与平面向量类似），所以MN垂直于CD

因为PDA=45度，所以PA=AD，即c=b
向量PC=(a,b,-c)=(a,b,-b)
向量PD=(0,b,-c)=(0,b,-b)
所以平面PCD的一个法向量等于PC与PD的向量积=(0,ab,ab)【当然也可以取PC和PB的向量积】
而MN=(0,b/2,c/2)=(0,b/2,b/2)
可见平面PCD的法向量平行于MN，所以MN垂直与平面PCD。

平面法向量的计算：取平面上任意两个不共线的向量(x1,y1,z1)与(x2,y2,z2)
这两个向量的向量积
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)
|x y z |
=|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2|
行列式中的x,y,z为各方向上的坐标