Question

一道证明函数增减性的问题

证明函数y=x+1\x在（1，负无穷）上为增函数

Answer 1

y=f(x)=x+1/x
f(-x)=(-x)+1/(-x)=-(x+1/x)=-f(x)
函数为奇函数，根据奇函数的性质，函数在R上具有相同的增减性。
只需要证明x>1时的情况，就可以知道函数的增减性，在R上奇函数是有相同的增减性的，任意区间都可以。

第一种方法，也是最简单的方法，用导数证。
y'=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2
x>1 x^2>1
x^2-1>0 x^2>0
y'>0
函数在（1，负无穷）上为增函数。

第二种方法，用定义证。
设定义域上1<x1<x2
x2+1/x2-x1-1/x1
=(x2-x1)-(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x2>x1,x2-x1>0
x1>1 x2>1 x1x2>1 0<1/x1x2<1
1-1/x1x2>0
x2+1/x2>x1+1/x1
函数单调递增。

结论是在(-∞,1)上，函数单调递增。