Question

一道高一的数学题，急急急急急急急急急急急急急

已知函数f(x)，当x,y∈R，，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)+f(-x)=0 (2)如果x＞0时,f(x)＜0，且f(1)= -1/2，求f(x)在区间[-2，6]上的最大值和最小值

Answer 1

(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可知，
当x=y=0时，f(0)=f(0)+f(0),可得f(0)=0,
当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x)=0.
故函数f(x)为奇函数。
（2）解：当0<x1＜x2时，x2-x1＞0,由题设可知，f(x2-x1)＜0,
又由题设知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)＜0.
即:f(x1)＞f(x2).
故在(0,+∞)上，函数f(x)递减。
结合函数的奇偶性可知，在R上，函数f(x)递减，故在[-2,6]上，f(x)max=f(-2),f(x)min=f(6).
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-1/2,
可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-1+(-1/2)=-3/2,
所以,f(-2)=-f(2)=1,f(6)=2f(3)=-3
故在[-2,6]上，f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(6)=-3.

Answer 2

(1):f（0+0）=f（0）+f（0）所以f（0）=0
（2）：因为X大于0时F（x）大于0所以F（x)当x大于0时递增，同理因为F（x）=F（-x）所以F（x)当x小于0时递减。由（1）得f（1）+f（-1）=0所以f（-1）=0.5所以f（-2）=f（-1）+f（-1）=1同理f（6）=-3即求出最大和最小值。
觉得好就采用吧。