Question

已知函数f（x）=(x²+2x+a)/x,x∈[1,+ ∞） （1）当a=½时，求函数f（x）的最小值；（2）若任意

已知函数f（x）=(x²+2x+a)/x,x∈[1,+ ∞） （1）当a=½时，求函数f（x）的最小值；（2）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：
1）f‘(x)=2x+2-1/（2x^2），显然x∈[1，＋∞）时f‘(x)>0，f(x)为增函数

∴ f(x)min=f(1)=7/2

（2）f(x)>0恒成立

x^2+2x+a / x>0对任意x属于[1，正无穷）恒成立

即X^3+2x^2+a>0对任意x属于[1，正无穷）恒成立

即a>-（X^3+2x^2） 令g（x）=-（X^3+2x^2）g’（x）=-3x^2-4x

g’（x）在x∈[1，＋∞）上为减函数

∴a>g（1）=-3

即a∈(-3，＋∞）

Answer 2

1. f(x)=(x²+2x+0.5)/x,x∈[1,+ ∞）
=(x²+2x+1)-0.5/x
=(x+1)²-0.5/x
因为（X+1)²/X>=0
所以函数f（x）的最小值为-0.5

2.f(x)=(x²+2x+a)/x,x∈[1,+ ∞）
=(x²+2x+1)+a-1/x
=(x+1)²+a-1/x
因为(x+1)²+a-1/x>0

所以a-1>0
a>1