Question

已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+cx+d，在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且x1小于x2，证明a大于0

已知函数f(x)=1/3ax^3+bx^2+cx+d，在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且x1小于x2，证明a大于0

Answer 1

对f(x)求导得ax^2+2bx+c，令g（x）=ax^2+2bx+c
x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值
所以x1，x2是函数ax^2+2bx+c的零点
因为x=x1处取得极大值，所以在x<x1时，g（x）<0,在x1<x<x2时g（x）>0
而x=x2处取得极小值，所以在x<x2时，g（x）<0
又因为x1小于x2
所以可得知g（x）=ax^2+2bx+c图像开口向上，所以a大于0

Answer 2

求2阶导得 f''(x)=2ax+2b
在x=x1处 2ax1+2b<0 2ax2+2b>0
即ax1+b<0 ax2+b>0

所以 (ax1+b)-(ax2+b)<0
a(x1-x2)<0

所以当x1<x2时 a>0