Question

等腰△ABC中AB=AC,D为BC中点E,F分别为AB,AC上的点△DEF为等边三角形求证EF∥BC

Answer 1

 

命题不成立！

a，当∠A=120°时，EF不一定平行BC。证明：如图，∠A=120°，

1，做DM⊥AB，DN⊥BC

∵ABC是等腰三角形，D是BC中点（已知）

∴AD是∠A的平分线（等腰三角形底边中线也是顶角平分线）

∴DM=DN（角分线上的点到角两端的距离相等）

∵∠A=120°（已知）

∴∠MDN=360°-90°-90°-120°=60°（四边形内角和等于360度）

∴⊿MDN是等边三角形（顶角为60度的等腰三角形是等边三角形）

∴∠NMD=60°（等边腊烂三角形的内角为60度）悄岩

∵∠B=∠C（等腰三角形的底角相等）

∴∠B=(180°-∠A)/2=30°（三角形内角和等于180度）

∴∠B+∠BMN=30°+90°+60°=180°

∴MN∥BC（同旁内角互补，两条直线平行）……①

2，在AB，CD上任意取点E，F，使得DE=DF

∵DM=DN（见1证明），DE=DF（所做）

∴RT⊿DEM≌RT⊿DFN（两边相等，两直角三角形全等）

∴∠EDM=∠FDN（全等三角形对应角相等）

∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°（等量公理）

∴⊿EDF是等边三角形（顶角为60度的启局御等腰三角形是等边三角形）

显然：EF和BC不平行，且这样的EF有很多。……②

由①②知，原命题不成立。

b，当∠A≠120°，EF∥BC，证明略。

Answer 2

连接AD，
∵AB=AC，D是BC中点，即BD=CD
∴AD平分∠BAC(等腰三角形慎裤源三线合一）
做DM⊥AB于M，DN⊥AC于N
∴DM=DN
∵△DEF是等边三角形
∴∠DEF=∠DFE=60°
DE=DF
∴RT△DME≌RT△DNF(HL)
∴∠DEM=∠DFN
∴∠DEM+∠DEF=∠DFN+∠DFE
即∠BEF=∠CFE
∴∠AEF=∠AFE(补角相等）
∴AE=AF
∴AE/AB=AF/AC
∵∠EAF=∠BAC
∴△AEF∽△ABC
∴∠AEF=∠纯碰ABC
∴EF∥宽态BC