Question

在△ABC中，AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F，

在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F，求证：BM=MN=NC.

Answer 1

连接AM，AN。因ME，FN分别垂直平分AB，AC，

所以，AM=AM，AN=CN，角B=角MAB，角C=角NAC

  因AB=AC，∠A=120°，所以，角B=角C，角MAB=角NAC，所以，三角形ABM全等于三角形ACN

AM=AN，BM=CN，角B=角C=角MAB=角NAC=30度。角MAN=120度-角MAB-角NAC=60度，

所以，三角形MAN是等边三角形，AM=AN=MN，

所以，BM=MN=NC.

Answer 2

链接MA、NA，
在△CNF与△ANF中
NF=NF
∠NFC=∠NFA
AF=CF
∴△CNF≌△ANF
∠NCF=∠NAF=30°，
CN=AN
同理可证△BME≌△AME
∠MBE=∠MAE=30°
BM=AM

在△BMA与△CNA中
∠B=∠C
AB=AC
∠MAB=∠NAC
∴△BMA≌△CNA
∴MA=NA，即BM=CN

∠MAN=120-(∠MAB+∠NAC)=60°
∴△MAN是等边三角形
∴MA=NA=MN
所以BM=MN=NC

追问

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追答

已经完善了

Answer 3

因为ME NF垂直平分 所以角BEM=角NFC 因为AB=AC 所以CF=BE 角B=角C 三角形BEM全等于三角形CNF BM=CN 作AO垂直于CB 因为角B=角B 角BEM=角AOB=90 所以三角形BEM相似于三角形BOA 因为2BE=AB 所以2OM=BM因为BO=CO 所以MO=NO MO+NO=MN=CN=BM

追问

不用相似，用联结AM,AN,则BM=AM,CN=AN,设法证△AMN为等边三角形

追答

AN=CN所以角MAC=90 因为AM=CN所以角C=30所以角CMA=60