Question

设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1 (0<a<b) 的半焦距为c ,直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线l的距离

设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2=1 (0<a<b) 的半焦距为c
,直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线l的距离为(根号3)c/4,求双曲线的离心率.答案是2，不是(2√3)/3，求解谢谢

Answer 1

直线l过(a,0),(0,b)两点

则是x/a+y/b=1
即bx+ay-ab=0
所以距离=|0*b+0*a-ab|/√(a²+b²)=ab/c=√3c/4
所以c²=4ab/√3

a²+b²=c²=4ab/√3
b²-4ab/√3+a²=0
(b/a)²-4/√3(b/a)+1=0
所以b/a=(4/√3±√(4/3))/2
所以b/a=√3或√3/3

0<a<b
b/a>1
b/a=√3

c²=4ab/√3

e²=c²/a²=4/√3*b/a=4
e=2

Answer 2

直线L的方程是x/a+y/b=1
即有bx+ay-ab=0
原点到直线的距离是d=|-ab|/根号(b^2+a^2)=根号3c/4
即有ab/c=根号3c/4
4ab=根号3c^2
16a^2b^2=3c^4
16a^2(c^2-a^2)=3c^4
3c^4-16a^2c^2+16a^4=0
3e^4-16e^2+16=0
(3e^2-4)(e^2-4)=0
e^2=4/3, e=2根号3/3
e^2=4, e=2
由于b>a>0,故有c^2=a^2+b^2>a^2+a^2=2a^2
故有e^2=c^2/a^2>2,即有e^2=4/3不符合,舍去
所以有e=2