Question

数学专业 高等代数问题

Answer 1

• 第一步：求出矩阵J的特征多项式f(x)=x^n-x^{n-1}-x^{n-2}-,...........,-x-1.f(x)=0无重根，矩阵J有N个互不相等的特征值，

• ===》矩阵J可以对角化且特征值互不相等。

• 第二步：令矩阵J=P^{-1}DP,其中D=diag(x_1,x_2,....,x_n)；x_k为J的特征值。

• 第三步：AJ=JA《==》PAP^{-1}PJP^{-1}=PJP^{-1}PAP^{-1}《===》PAP^{-1}D=DPAP^{-1}

  ===》PAP^{-1}为对角矩阵，设PAP^{-1}=diag(a_1,.....,a_n)，

• 第四步：存在一个次数小于n的多项式满足g(x_k)=a_k,k=1,2,........,n.

• g(J)=A

• 计算J^k的第一列,J^k的第一列为e_{k+1},(k=0,1,2,.........n-1.)

• ===》A=a_{11}E+a_{21}J+a_{31}J^{2}+......,a_{n1}J^{n-1}.此时系数应该是矩阵A的第一列。

 

以上步骤是在矩阵J有N个互不相等的特征值的前提下来证明的。

特别的，当最后一列为任意向量时，也成立，不过不能用这种方法来证明，这是往年的大学生竞赛题（具体证明细节，记不大清楚了）

第二问：

可以直接验证E,J,....J^{n-1},线性无关。E,J,....J^{n},线性相关===》

维数为n

Answer 2

充分性显然。
必要性。令B=A-右边，显然B也可与J交换，并且B的第一列全为零，由这个条件容易推算出B=0。