Question

在数列AN中，a(n+1)+an=3n-54, (1)若a1=-20，求[an]的通项公式 （2）设sn为的前项的和，当a时，求的最小值

在数列AN中，a(n+1)+an=3n-54, (1)若a1=-20，求[an]的通项公式 （2）设sn为的前项的和，当a1大于-27时，求sn的最小值
尽快

Answer 1

说明：为方便文本输入和阅读，用A(n)表示数列{an}的第n项，(x)^2表示x的2次方，/表示除号，等等。
(1)求A(n)
∵A(n+1)+A(n)=3n-54
∴A(n+1)-[6(n+1)-111]/4=-[A(n)-(6n-111)/4]
∴{A(n)-(6n-111)/4}是等比数列，其公比为-1，首项为A(1)-(6×1-111)/4=A(1)+105/4
∴A(n)-(6n-111)/4=[A(1)+105/4]×(-1)^(n-1)
∴A(n)=[A(1)+105/4]×(-1)^(n-1)+(6n-111)/4
当A(1)=-20时，
A(n)=25/4×(-1)^(n-1)+(6n-111)/4

(2)解法一：求sn的最小值
令常数c=-[A(1)+105/4]
∴A(n)=c(-1)^n+(6n-111)/4
∴S(n)=A(1)+A(2)+…+A(n)
=c[(-1)^1+(-1)^2++…+(-1)^n]+(6/4)(1+2+…+n)-(111/4)n
=c[(-1)-(-1)^(n+1)]/[1-(-1)]+(3/4)n(n+1)-(111n)/4
=(-c/2)[1+(-1)^(n+1)]+(3/4)[(n-18)^2-324]
=[A(1)/2+105/8][1-(-1)^n]+(3/4)[(n-18)^2-324]
①当n为奇数时：
S(n)=[A(1)/2+105/8]×2+(3/4)[(n-18)^2-324]=A(1)+(3/4)(n-18)^2-243+105/4
可见,当n=17或19时,S(n)取最小值,S(17)=S(19)=A(1)+3/4-243+105/4=A(1)-216
②当n为偶数时：
S(n)=(3/4)[(n-18)^2-324]
可见,当n=18,S(n)取最小值,S(18)=(3/4)(-324)=-243
综合①②：
当A(1)>-27时:S(19)-S(18)=A(1)-216+243=A(1)+27>0
所以，当n=18时，S(n)取最小值，最小值为-243

(2)解法二：求sn的最小值
∵A(n+1)+A(n)=3n-54
可得以下n-1个等式：
A(1)+A(2)=3×1-54
A(2)+A(3)=3×2-54
……
A(n-1)+A(n)=3(n-1)-54
将以上n-1个等式相加得：
[S(n)-A(n)]+[S(n)-A(1)]=3×[1+2+…+(n-1)]-54(n-1)=(3n^2-111n+108)/2
∴S(n)=A(1)/2+A(n)/2+(3n^2-111n+108)/4
=A(1)/2+[A(1)/2+105/8]×(-1)^(n-1)+(6n-111)/8+(3n^2-111n+108)/4
=A(1)/2+[A(1)/2+105/8]×(-1)^(n-1)+(6n^2-216n+105)/8
=A(1)/2+[A(1)/2+105/8]×(-1)^(n-1)+(3/4)(n-18)^2-1839/8
①当n为奇数时：
S(n)=A(1)/2+A(1)/2+105/8+(3/4)(n-18)^2-1839/8=A(1)+(3/4)(n-18)^2-867/4
可见,当n=17或19时,S(n)取最小值,S(17)=S(19)=A(1)+3/4-867/4=A(1)-216
②当n为偶数时：
S(n)=A(1)/2-A(1)/2-105/8+(3/4)(n-18)^2-1839/8=(3/4)(n-18)^2-243
可见，当n=18时，S(n)取最小值,S(18)=-243
综合①②：
当A(1)>-27时:S(19)-S(18)=A(1)-216+243=A(1)+27>0
所以，当n=18时，S(n)取最小值，最小值为-243

Answer 2

方法