Question

设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方（a＞0,且a≠1）是定义域为R的奇函数； （1）若f(1)＞0，

设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方（a＞0,且a≠1）是定义域为R的奇函数；
（1）若f(1)＞0，试求不等式f(x²+2x)+f(x-4)＞0的解集；
（2）若f(1)=3/2,且g(x)=a的2x次方+a的-2x次方-4f(x),求g(x)在[1，+∞）上的最小值。
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Answer 1

f(x)=ka^x-a^(-x)
f(-x)=ka^(-x)-a^x
因为f(x)为R上奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以f(-x)+f(x)=0，所以
0=f(-x)+f(x)=[ka^(-x)-a^x]+[ka^x-a^(-x)]=(k-1)a^x+(k-1)a^(-x)=(k-1)[a^x+a^(-x)]，
所以k=1，即f(x)=a^x-a^(-x)
任取x1、x2∈R，且x1<x2，则-x2<-x1，因为a>1，所以a^x1<a^x2，a^(-x2)<a^(-x1)
则f(x1)-f(x2)=[a^x1-a^(-x1)]-[a^x2-a^(-x2)]=(a^x1-a^x2)+[a^(-x2)-a^(-x1)]<0，
所以f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上增函数。
(1)
f(1)＞0，即a-1/a>0，(a+1)(a-1)/a>0，因为a>0，所以a>1,
f(x²+2x)+f(x-4)＞0，即f(x²+2x)＞-f(x-4)，即f(x²+2x)＞f(4-x)，
所以x²+2x＞4-x，即x^2+3x-4>0，即(x+4)(x-1)>0，
所以x<-4或x>1，即不等式的解集为(-∞，-4)∪(1，+∞)。
(2)
f(1)=3/2，即a-1/a=3/2，2a^2-3a-2=0，
(2a+1)(a-2)=0，
因为a>0，所以a=2，所以f(x)=2^x-2^(-x)，是R上增函数，且值域为R。
g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-4f(x)
=2^(2x)+2^(-2x)-4[2^x-2^(-x)]
=[2^x-2^(-x)]^2+2-4[2^x-2^(-x)]
={[2^x-2^(-x)]-2}^2-2，
因为f(x)=2^x-2^(-x)，是R上增函数，f(1)=3/2，
即当x∈[1，+∞)时，f(x)∈[3/2，+∞)
所以当f(x)=2时，g(x)有最小值-2。
【这时2^x-2^(-x)=2，(2^x)^2-2(2^x)-1=0，(2^x)^2-2(2^x)+1=2，因为x∈[1，+∞)，所以2^x-1>0，
所以2^x=1+√2，x=log(2)(1+√2)。】