Question

已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ）且丨k向量a+向量b丨＝根号3丨

向量a-k向量b丨（k＞0)
(1)用k表示数量积向量a·向量b
（2）求向量a·向量b的最小值，并求出此时向量a与向量b的夹角

Answer 1

解：
(1)由条件：|k向量a+向量b|=√3|向量a-k向量b|
知道：|k（cosα,sinα）+(cosβ,sinβ)|=√3|（cosα,sinα）-k(cosβ,sinβ)|
即：|（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ)|=√3|（cosα-kcosβ,sinα-ksinβ)|
√[（kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)^2]=√3√[（cosα-kcosβ)^2+(sinα-ksinβ)^2]
√[k^2+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]=√3√[k^2+1-2k（cosαcosβ+sinαsinβ)]
√[k^2+1+2kcos(α-β]=√3√[k^2+1-2kcos(α-β)]
平方整理：cos(α-β)=(k^2+1)/4k
所以：向量a·向量b=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
=(k^2+1)/4k;
(2)因为k>0.所以：(k^2+1)/4k=（1/4）[k+1/k]≥(1/4)·2√(k·1/k)
=1/2.(当且仅当k=1/k,即k=1时，等号成立)
所以向量a·向量b的最小值为1/2；
这时k=1,即cos(α-β)=1/2
所以：α-β=60°
向量a与向量b的夹角为60°。
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