Question

在三角形ABC中,已知向量AB*向量AC=9,向量AB*向量BC=-16.求sin(A-B)/sinC=?

Answer 1

设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵AB•AC=9，S△ABC=6
∴bccosA=9，1／2bcsinA=6
∴tanA=4／3，sinA=4／5，cosA=3／5，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC为x轴，以BC为y轴，建立直角坐标系
C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得CP=λCA+(1-λ)CB=（3λ，4-4λ）
设CA|CA|=e1，CB|CB|=e2
|e1|=|e2|=1，e1=(1，0)，e2=(0，1)
∴CP=xCA／|CA|+yCB／|CB|=（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ，则4x+3y=12
1／x+1／y=1±12(1／x+1／y)(4x+3y)=1／12(7+3y／x+4x／y)≥7／12+√3／3

Answer 2

AB = c，AC=b，BC= a c·b = |c|·|b|·cosA = 9 (-c)·a =-|c|·|a|·cosB =-16 所以(|b|·cosA/|a|·cosB) = 9/16 又|b|/|a| = sinB/SinA 所以16sinB·cosA = 9SinA·cosB 所以7sinB·cosA = 9( SinA·cosB- inB·cosA)=9sin(A-B) 25sinB·cosA = 9( SinA·cosB+sinB·cosA)=9sin(A+B) = 9sinC 所以sin(A-B)/sinC = 7/25