Question

求大神用微积分解决高中物理电磁感应问题

导轨光滑、水平、电阻不计、间距L=0.20m；导体棒长也为L、电阻不计、垂直静止于导轨上；磁场竖直向下且B=0.5T；已知电阻R=1.0Ω；现有一个外力F沿轨道拉杆 ，使之做匀加速运动，F与时间t的函数关系为：F（t）=0.1t+1，求杆的质量和加速度a。 必须微积分，过程较为详细易懂！！

Answer 1

分析：没有图，不知外力 F 的方向是否水平？

从题目意思看，是金属杆、导轨、电阻R组成闭合回路。以下是把外力 F 的方向当成水平的来分析。当金属杆运动时，受到重力 mg，支持力N，外力F，安培力 F安。

　　

方法一：不用微积分

　　设在某时刻 t ，杆的速度是 V ，那么杆产生的感应电动势为　E＝BLV

这时回路中的电流是　I＝E / R＝BLV / R

这时的安培力大小是　F安＝B* I * L＝(BL)^2 * V / R

由牛二　得　F－F安＝m a

即　（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * V / 1 ]＝m a　　（式中各量均用 Si 制的单位）

而　V＝a * t　　（注意是匀加速直线运动，a 是常量，初速为0）

所以　（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * a* t / 1 ]＝m a　

整理后，得　（0.1－0.01* a）* t ＝ma－1

由于m、a 都是常量，不论  t 是何值，上式都成立，所以有

（0.1－0.01* a）＝0

且　ma－1＝0

得　a＝10  m/s^2　，　m＝0.1 千克

方法二：用微积分

　　F－F安＝m* a

a＝dV / dt

且　杆产生的感应电动势为　E＝BLV

这时回路中的电流是　I＝E / R＝BLV / R

这时的安培力大小是　F安＝B* I * L＝(BL)^2 * V / R

所以　（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * V / 1 ]＝m* a　　　－－－－－＊式

由于初速为0，且金属杆是做匀加速直线运动，所以　a＝( dV / dt )　是一个常量

将＊式两边同时对 t 求导数，得

0.1－ ( 0.5 * 0.2)^2 *( dV / dt )＝0　　　（＊式等号右边是常量，右边对 t 求导数时等于0）

所以　a＝( dV / dt )＝10   m/s^2

把　a＝10   m/s^2　代入＊式　得

（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * V / 1 ]＝m*10

由题意　知　t＝0时，V＝0

得　1＝m*10

所以　m＝0.1千克

追问

0.01v怎么变到0.01dv\dt？

追答

由（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * V / 1 ]＝m* a
即　（0.1 * t ＋1）－[ ( 0.5 * 0.2)^2 * V ]＝m* a
得　[ d（0.1 * t ＋1）/ dt ]－ ( 0.5 * 0.2)^2 * （dV / dt）＝d(m*a) / dt
即　0.1－ ( 0.5 * 0.2)^2 * （dV / dt）＝0

Answer 2

依据牛二律，得BIL-B²L²v/R=ma
0.1t+1-0.01v=mdv/dt=ma
由于a是恒量，所以两边求导，得
0.1-0.01dv/dt=0
所以a=dv/dt=10m/s²
初始条件下等式左边为1，所以m=0.1kg.

请采纳，谢谢！

追问

不是外力F-BIL=ma吗

不是外力F-BIL=ma吗

追答

依据牛二律，得F-B²L²v/R=ma0.1t+1-0.01v=mdv/dt=ma由于a是恒量，所以两边求导，得0.1-0.01dv/dt=0所以a=dv/dt=10m/s²初始条件下等式左边为1，所以m=0.1kg.

追问

为什么是求导而不是求积分？

追答

对等式两边同时求导或者求积分都可以，这里要求导，因为等式右边是常数，求导得0，好算！
再把这题重新写一遍给你！

依据牛二律，得F-B²L²v/R=ma0.1t+1-0.01v=mdv/dt=ma由于a是恒量，所以两边求导，得0.1-0.01dv/dt=0所以a=dv/dt=10m/s²初始条件下等式左边为1，所以m=0.1kg.

追问

0.01v怎么变到0.01dv\dt？

追答

两边对时间t求导得到的，v是变量，是时间t的函数。

追问

能不能对F-BIL=ma两边同时求下积分。我想比较一下

追答

求积分什么也得不到啊，变得更复杂了！