Question

有高手来帮忙解决一下，关于高一数列的。

各项均为正奇数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d（d>0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4-a1=100，则q的值为？

Answer 1

各项均为正奇数,设a1=2a+1,a≥0;a是整数;
各项均为正奇数,d>0,则d是偶数,所以设d=2k>0，所以k≥1,k是整数;
则a3>a2,所以q>1,则设q=2m+1>1；所以m>0;则
a2=a1+d=2(a+k)+1,a3=a2+d=2(a+2k)+1=a2*q=[2(a+k)+1](2m+1)=4m(a+k)+2(a+k+m)+1,
所以a+2k=2m(a+k)+a+k+m;2m(a+k)+m=k,(2m-1)k=-(2a+1)m≠0,所以m≠1/2;
则k=(2a+1)m/(1-2m)=(2a+1)/(1/m-2)≥1,所以1/m-2>0,m<1/2;
而且1/m-2≤2a+1,1/m≤2a+3,所以1/2>m≥1/(2a+3);

a4=a3*q=[2(a+2k)+1][2m+1]=4m(a+2k)+2(a+m+2k)+1=a1+100=a2*q^2=[2(a+k)+1][(2m+1)^2;
所以2a+100=4m(a+2k)+2(a+m+2k),2m(a+2k)+m+2k=50,k=[50-m(1+2a)]/(4m+2)=m(2a+1)/(1-2m);
则[50-m(1+2a)](1-2m)=(4m+2)m(2a+1)=(4m^2+2m)(2a+1)=50(1-2m)-(m-2m^2)(1+2a);
所以2a+1=50(1-2m)/(2m^2+3m),a=25(1-2m)/(2m^2+3m)-1/2,k=(2a+1)m/(1-2m)=50/(2m+3),

所以k=50/(2m+3)>50/4=12.5,k>=13;
k<=50/[2/(2a+3)+3]=50(2a+3)/(11+6a)=16+(4a-26)/(6a+11);
如果(4a-26)/(6a+11)>=1,则a<=-37/2, 如果(4a-26)/(6a+11)<-3;则a<-5/22;
所以13<=k<=16;m=25/k-1.5;
k=13,d=26
a3=a2+26=a1+52,a4=a3*q=a1+100
q=(a1+52)/(a1+26)=1+26/(a1+26);
q=1+26/(a1+26)=(100+a1)/(a1+52)=1+48/(a1+52)
q-1=26/(a1+26)=48/(a1+52),22a1=26*52-48*26=4*26,a1不是整数；所以k≠13;
同理k=14,d=28,q-1=28/(a1+28)=44/(a1+56),16a1=28*12,a1=21(待会验算);
k=15,d=30,q-1=30/(a1+30)=40/(a1+60),10a1=30*20,a1=60(不是奇数);所以k≠15;
k=16,d=32,q-1=32/(a1+32)=36/(a1+64),4a1=32*28,a1=224(不是奇数);所以k≠16;
所以k=14,d=2k=28,a1=21,a2=49,a3=77,a4=121,q=a3/a2=77/49=11/7=121/77=a4/a3
验算:
a1=21,d=28
a2=49,a3=77,a4=77^2/49=121=a1+100
q=77/49=11/7

Answer 2

设a2=x, 则a3=a2*q=xq, a4=a3*q=xq^2, a1=2*a2-a3=2x-xq=(2-q)x
a4-a1=x*q^2-(2-q)x=x*(q^2+q-2)=x*(q-1)(q+2)=100=2^2*5^2
根据题意，x和q都必须是奇数，所以q=5
算到这里发现实木是不是错了啊

Answer 3