Question

已知函数f(x)=x^2+lnx.（1）求函数在[1,e]上的最大值和最小值（2）求证当x∈(1,+∞),函数f(x)的图像在g(x

（1）求函数在[1,e]上的最大值和最小值
（2）求证当x∈(1,+∞),函数f(x)的图像在g(x)=（2/3）x^3+（1/2）x^2的下方
0.0这是解答题 不要用电脑作图来回答呀。

Answer 1

答：
1）f(x)=x^2+lnx
求导：f'(x)=2x+1/x>0
f(x)是单调递增函数，在[1,e]上单调递增
x=1时取得最小值f(1)=1+0=1
x=e时取得最大值f(e)=e^2+1
2）
x>=1
设h(x)=f(x)-g(x)
=x^2+lnx-(2/3)x^3-(1/2)x^2

=-(2/3)x^3+(1/2)x^2+lnx
求导：
h'(x)=-2x^2+x+1/x
=-(2x^3-x^2-1)/x
设q(x)=2x^3-x^2-1
求导：q'(x)=6x^2-2x=2x(3x-1)>0
q(x)是增函数，q(x)>=q(1)=2-1-1=0
所以：h'(x)<=0
所以：h(x)是单调递减函数
所以：h(x)<=h(1)=-2/3+1/2+0<0
所以：f(x)<g(x)
所以：f(x)在g(x)的下方